Matematicando

Há alguns anos atrás, quando o uso das calculadoras não era tão difundido como é hoje, ensinava-se nas escolas uma regra simples, conhecida como prova dos nove ou noves fora, cujo objetivo era verificar se operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, continham erros.
Essa regra baseia-se no fato de que existe um mecanismo simples de calcular o resto da divisão de qualquer número inteiro por 9.

Para qualquer número inteiro, o resto de sua divisão por 9 é igual ao resto da soma de seus algarismos, também por 9.

 
Por exemplo, o número 49, quando dividido por 9, apresenta resto 4. A soma dos algarismos que formam o número 49 é 13 (4 + 9 = 13), e 13 dividido por 9, também apresenta resto 4.
Dessa maneira, para encontrarmos o resto da divisão de um número inteiro por 9, somamos os algarismos desse número, obtendo um segundo número. Somamos a seguir os algarismos desse segundo número, obtendo um terceiro número, e assim sucessivamente até obtermos um número formado por um só algarismo, que será o resto da divisão do número originalmente dado, por 9.




Vejamos como aplicar a prova dos nove numa adição e numa multiplicação:
1°. Numa adição
Consideremos a seguinte adição:
1ª. etapa
Adicionamos os algarismos de cada uma das parcelas (1 525  e  2 674) para obter os noves fora de cada uma delas;
2ª. etapa
Adicionamos os resultados obtidos na etapa anterior;
3ª. etapa
Adicionamos os algarismos da soma (4 199);
4ª. etapa
Comparamos os resultados obtidos na 2ª. e 3ª. etapas. Se forem iguais, temos aí um indicativo que a conta poderá estar certa.
Acompanhe cada uma das etapas descrita acima, no quadro a seguir:




Observe que a soma dos "noves fora" das parcelas (4 + 1 = 5), é igual ao "noves fora" do resultado (5).

2°. Numa multiplicação
O procedimento é idêntico ao da adição.
Consideremos a seguinte multiplicação:
1ª. etapa
Adicionamos os algarismos de cada um dos fatores:
3 + 2 + 8 = 13 —> 1 + 3 = 4 —> é o "noves fora" do 1° fator;
7 + 4 = 11 —> 1 + 1 = 2 —> é o "noves fora" do 2° fator.
2ª. etapa
Multiplicamos os resultados obtidos na etapa anterior;
4 x 2 = 8
3ª. etapa
Adicionamos os algarismos do produto (24 272);
2 + 4 + 2 + 7 + 2 = 17 —> 1 + 7 = 8
4ª. etapa
Comparamos os resultados obtidos na 2ª. e 3ª. etapas. Se forem iguais, temos aí um indicativo que a conta poderá estar certa.

Nota importante
Ainda que a "prova dos nove" funcione sempre que uma adição ou multiplicação tenham sido realizadas corretamente, ela também poderá se verificar em casos em que uma adição ou multiplicação tenham sido realizadas incorretamente. Suponhamos que no exemplo dado 1 525 + 2 674, tivessemos encontrado incorretamente o resultado 4 109 a "prova dos nove" se verificaria, entretanto não nos indicaria que o resultado estaria errado. Ou seja, a prova dos nove pode funcionar mesmo estando errado o resultado da operação efetuada, o que, embora não descarte seu uso, não faz dela uma prova definitiva.

Francisco Ismael Reis.
 




(21/12/2008)